A Poliuniverzum Játékcsalád felépítése és matematikai lehetőségei

Ebben a fejezetben a Poliuniverzum Játékcsalád matematikai megközelítésének fontos tulajdonságait és szabályait vesszük sorra. Vizsgálati módszernek a kombinatorikát választottuk, ugyanis a diszkrét matematikának ez az ága alkalmas arra, hogy a játékcsaládban rejlő lehetőségek számosságát a legérthetőbben, és ezzel együtt a leghatásosabban felfedje. Az alább vázolt matematikai megközelítés nagy részében eltekintünk a művészeti és esztétikai vetülettől, azonban ahol ennek jelentősége van, kiemeljük ezt az aspektust is.

Ez a fejezet minden olyan érdeklődőnek szól, aki a játékcsaláddal kapcsolatos matematikai, logikai összefüggéseket tudatosan akarja szemlélni. Minden itt leírt megfontolás kézenfekvő, ugyanakkor az alább kifejtett összeillesztési lehetőségek száma sokszor megdöbbentő. Jelen fejezetnek nem célja, hogy zártan, minden irányból körüljárja a Poliuniverzum Játékcsalád lehetőségeit. Ezt megakadályozzák a terjedelmi korlátok és a megközelítések nagy száma. Arra azonban mindenképpen vállalkozunk, hogy a játékcsaládra vonatkozó, általunk fontosnak tartott, alapvető összefüggéseket megvilágítsuk.

Az alapok – miből építünk?

A játékcsalád színei: piros, sárga, zöld, kék.

matek1

A játékcsalád alapformái: háromszög, kör, négyzet. Valójában e három “családból” épül fel a játék, és mindhárom alapforma-családnak 24 tagja van, ahogyan azt a későbbi fejezetekben látni fogjuk. A játék a fenti formákon és színeken kívül a léptékváltásos szimmetriára épül. Ennek a lényege abban áll, hogy az alapformák oldalhosszúságát (illetve a körnél az átmérőt) felezve az alapformákon belül egyre kisebb, más színű formákat kapunk. Erre az alábbiakban részletezve kitérünk, annyit azonban jegyezzünk meg itt, hogy ez a fajta kisebb méretben való ismétlődés a fraktálgeometria alapja is. Amikor hosszúságról beszélünk, akkor az érthetőbb ábrázoláshoz olyan hosszúsági egységet alkalmazunk, amelyben a háromszög és a négyzet oldalhosszúsága, illetve a kör átmérője 8 egység. A valóságban ez a méret 9 cm.

Csomagok

A játékelemeket tartalmazó csomagokat a feltaláló az előbbi formai és színbeli építőelemeket alkalmazva úgy alakította ki, hogy minden egyes elem különbözzön. A csomagok elemszáma tehát a négy különböző szín egyszerű ismétlés nélküli permutációjából adódik mindhárom esetben, azaz egy csomag 4 * 3 * 2 * 1 = 4! = 24 elemet tartalmaz.

A szabályok – hogyan építünk?

Alapállás, fordított (tükrözött) állás

Ez egy esztétikai, technológiai megfontolás, amely komoly matematikai következményekkel is jár. A tengelyes tükrözéskor a körüljárási irány megváltozik, ebből következően az elhelyezési lehetőségek tekintetében új elemet kapunk, amikor tükrözünk, azaz a valóságban megfordítunk egy elemet.

Háromszögek teljes oldalillesztése

Teljes oldalillesztésről akkor beszélünk, ha a háromszögeket úgy illesztjük össze, hogy a csúcsok érintkeznek, azaz a két érintkező oldal kezdő és végpontja egybeesik. Egy háromszöget 6-féleképpen lehet letenni. A második háromszöget szintén 6-féleképpen lehet elhelyezni mellette, így 6 * 6 = 36 különböző lehetőség adódik 2 háromszög teljes oldalérintkezéssel történő elhelyezésre.

Ugyanerre az eredményre jutunk, ha azt vizsgáljuk, hogy adott lappal felfelé elhelyezett 2 háromszöget egymáshoz képest 9-féleképpen tudunk elhelyezni, hiszen az egyik háromszög 3 oldalához a 3 másik háromszög 3 oldalából választhatunk párt. Azonban mindkét háromszöget 2-féleképpen (alap- és fordított állásban – lásd fentebb) helyezhetjük el az asztalon.

Természetesen így is a fenti eredményt kapjuk: 9 * 2 * 2 = 36

Visszatérve az eredeti gondolatmenethez, induljunk ki ismét abból, hogy 1 háromszöget 6-féleképpen lehet elhelyezni az asztallapon. Ebből például az is következik, hogy ha a három-szögek közül mind a 24 elemet letettük, akkor 624 = 4,74 * 1018 különböző összeállítást kaphatunk anélkül, hogy az egyes elemek konfiguráción belüli helyzetét megváltoztatnánk. Amennyiben azt is vizsgáljuk, hogy az újabb lerakott háromszögek hogyan helyezkednek el egymáshoz képest, akkor a következő összefüggés igaz: (n+1)! * (3!)n-1, ahol n a háromszögek száma.

Alkalmazva a képletet 2 háromszög esetén természetesen visszakapjuk a korábban kétféleképpen is kiszámított 36 lehetőséget. Azonban három darab háromszög esetén így már 864 különböző elhelyezést kapunk. Ha mind a 24 háromszöget felhasználjuk, akkor már 1,2 * 1043 különböző lehetőség adódna. (Megjegyzendő, hogy ekkor az esetleges zárt konfigurációk megoldáscsökkentő számával nem kalkuláltunk.)

A háromszögek eltolásai

Szabályként szögezzük le, hogy a háromszögek oldalai mentén történő eltolásokat csak ún. stabil kapcsolódási pontok mentén engedélyezzük. Ez azt jelenti, hogy a kapcsolódási pontoknak csúcsokkal vagy egymással érintkezniük kell, illetve csak a csúcsok érintkezése – az összeállítás szögének instabilitása miatt – nem megengedett. Az eltolások lehetőségei mindazonáltal kissé bonyolultabbak, mint ahogyan az első ránézésre tűnhet, ugyanis a lehetőségek száma függ az összeillesztendő oldalaktól. A különböző oldalak mentén a háromszögeket az alábbiak szerint lehet egymás mellett eltolni:

matematika03

(“R” a rövid, “K” a közepes és “H” a hosszú oldalú belső háromszöget jelöli.)

A tengelyes szimmetria miatt ez egy szimmetrikus mátrix.

matematika04

A fenti ábrán kifejtve az egyik maximumot, például a H-R – K-R oldalak 12 db eltolási lehetőségét.

matematika05

A fenti ábrán kifejtve az egyik minimumot, azaz például a H-R – R-H oldalak 7 db eltolási lehetőségét.

Ezek az eltolások nagymértékben tovább növelik a fent kiszámított, amúgy sem kevés elhelyezési lehetőség számosságát.

Teljes körillesztések

Teljes körillesztésről akkor beszélünk, amikor azonos méretű körök kapcsolódnak egymáshoz. Ilyen módon két kört egy adott méretű félkörrel 4-féleképpen lehet elhelyezni, és ez igaz mindhárom méretű félkörre. Ebből adódik, hogy teljes körillesztés estén 3 * 4 = 12-féleképpen lehet elhelyezni egymáshoz képest a két kört.

Ha egy kört elhelyeztünk az asztalon, akkor a második kört teljes körillesztéssel 6-féleképpen lehet mellette elhelyezni, hiszen mindhárom méretű félkör szabad, és a mindhárom helyre 2-féle módon – alap vagy fordított állásban – tehetjük le a következő kört. Hogyha úgy gondolkodunk tovább, hogy a következő kört mindig az éppen letett körhöz illesztjük, akkor már csak 2 szabad félkörünk van, és ezekhez egyenként 2-féleképpen lehet elhelyezni az újabb kört. Azaz harmadik körtől kezdődően mindig 4-féleképpen folytathatjuk a lerakási sorozatot. Ebből az következik, hogy a 24 elemet ilyen módon – azaz kvázi egy sorban – elhelyezve 6 * 422 = 1014 lehetőséget kapunk.

Ehhez az eredményhez két megjegyzés kívánkozik. Az egyik az, hogy ezt – bár még mindig egy rendkívül nagy szám – összevetve az előző fejezetben a háromszögre kapott eredménnyel látható, hogy 4 nagyság-renddel kisebb annál. Ennek nyilvánvalóan az az oka, hogy míg a háromszögek esetén tetszőleges oldal tetszőleges oldallal illeszthető, itt most csak a körök teljes illesztését engedtük meg. A következő fejezetben a körök speciális elcsúsztatását is meg fogjuk engedni.

Másodsorban megjegyezzük, hogy ennél a kvázi-lineáris elhelyezésnél nem számoltunk azzal, hogy bizonyos elhelyezések esetében zárt konfiguráció keletkezik. Ez először 6 kör egymáshoz illesztésénél fordulhat elő, és bizonyos mértékben csökkenti a lehetőségek számát.

Részleges körillesztések

Részleges körillesztésnek azt nevezzük, amikor egy nagyobb körhöz egy kisebb kört illesztünk úgy, hogy a kisebb kör a nagyobb kör belsejében helyezkedik el. Ez a lehetőség tulajdonképpen a körök eltolásaként is felfogható, analóg módon a háromszög és a négyzet stabil oldalkapcsolódási pontok mentén történő eltolásához, és mint ilyen, jelentősen megnöveli a megoldási lehetőségeket. Ezzel a módszerrel két kört 15-féleképpen lehet összekapcsolni, és ez négyszereződik az alap és a fordított állások különbözősége miatt. Ekkor tehát 60 különböző lehetőségünk van, azaz ennyiféle különböző konfiguráció állítható össze két kör esetén, részleges illesztéssel.

Négyzetek teljes oldalillesztése

Két négyzetet 64-féleképpen lehet egymás mellett elhelyezni. Ez könnyen belátható a háromszögnél alkalmazott logika kiterjesztésével úgy, hogy figyelembe vesszük az oldalszám különbséget, hiszen egy négyzetet 8-féleképpen lehet elhelyezni az asztalon.

Ebből következik, hogy 24 db négyzet esetén 824 = 4,72 * 1021 lerakási lehetőség adódik, ha nem vizsgáljuk ez egyes elemek konfiguráción belüli helyzetét, illetve ha eltekintünk a zárt konfigurációktól.

Négyzetek eltolásai

A négyzeteket eltolása analóg a háromszögek stabil oldalkapcsolódási pontok mentén történő eltolásával. A különbséget az jelenti, hogy az eltolási lehetőségek száma 4 és 9 között változik. Az előbbi példánál maradva ismét két négyzetet helyezünk el egymás mellé, és oldalpáronként a minimális 4 elcsúsztatási lehetőséggel számolunk, akkor is 64 * 4 = 256 eltérő konfigurációt kapunk.

Célok és lehetőségek – mit építünk?

A számos lehetőség közül most vizsgáljuk meg a zárt formákat.

Zárt konfigurációk 6 elemből háromszög esetén

matematika06

A zárt konfigurációk készítésekor először kiválasztunk 6 tetsző-leges elemet a 24 darabos készletből. Ez a 24 elem 6-od osztályú kombinációját jelenti, ami a következőképpen számítandó: C624 = 134596. A kiválasztás után azt kell figyelembe vennünk, hogy a zárt formára törekvés során hányféleképpen helyezhetjük el a következő háromszöget az addig már lerakott háromszögekhez képest. (Az alábbi szorzatban a tényezők alatti számok a lerakott háromszög sorszámát jelölik)

matematika08

azaz 100 milliárdos nagyságrendű eltérő konfigurációt kapunk.

Zárt konfigurációk 6 elemből kör esetén

matematika07

A fenti képlet kör esetén annyiban változik, hogy a 66 tényező helyett, amely az egyes elemek elhelyezési lehetőségét reprezentálja, a körnél 26 vagy 106 lehetőséget kell figyelembe vennünk attól függően, hogy – rendre – csak teljes körillesztést vagy részleges körillesztést engedünk meg. Utóbbi esetben, a fenti szorzatban még egy nagyságrendi növekedés mutatkozik, amellyel a 1012 (billió) tartományba lépünk.

Zárt konfigurációk 4 elemből négyzet esetén

matematika09

Négy négyzet esetén a zárt konfigurációnak az egymás mellett négyzetesen való elhelyezésüket tekintjük. Ha csak a teljes oldalillesztést követeljük meg, akkor az eltérő lehetőségek száma az alábbi képlettel adható meg: C424 * 4! * 84 = 10626 * 24 * 4096 = 109. Ez milliárdos nagyságrendet jelent.

Amennyiben például egy középen kereszt formájú lyukkal rendelkező konfigurációt szeretnénk a 4 négyzetből összeállítani, a fenti szorzatban a 84 faktor 24 -re változik, hiszen egy négyzetet csak kétféleképpen lehet úgy letenni ebben az összeállításban, hogy a kis négyzetben levágott sarok középre essen. Ennek megfelelően az eltérő lehetőségek száma is a milliós nagyságrendig ( ~ 4 * 106 ) redukálódik, ami – a megkötések dacára – még mindig egy tekintélyes szám.

Kombinatorikai csomagolás

matematika10

A feltaláló további ötlete alapján a játékcsalád csomagolása az alábbiak szerint történik. Az 24-es csomagok egyes elemeit véletlenszerűen egymás fölé helyezve oszlopokat alakítunk ki, amelyek aztán átlátszó fóliával vonunk be. Ez az eljárás a következő számú különböző csomagokat jelenti az egyes formákra vonatkozólag:

Háromszög: 624 * 24! = 2,9 * 1043

Magyarázat: egy háromszöget 6-féleképpen lehet elhelyezni, 24 háromszöget egymás felett tehát 624 -féleképpen. Mindehhez hozzá kell számolni azt, hogy a 24 különböző elemet hány különböző sorrendben tudjuk egymásra helyezni, azaz a 24 különböző elem ismétlés nélküli permutációját, ami 24(!) .

Négyzet: 824 * 24! = 2,9 * 1045

Magyarázat: az jelenti az eltérést a háromszöghöz képest, hogy egy négyzetet 8-féleképpen lehet elhelyezni. A többi megfontolás megegyezik a háromszögnél írtakkal.

Kör: 24! = 6,2 * 1023

Magyarázat: a kör esetében csak a félkörök pontos illesztését engedjük meg, azaz nem kalkulálunk sem a tengely körüli elforgatási lehetőséggel, sem pedig a fordított – tükrözött – elhelyezéssel. Ebből adódóan a különböző oszlopok számosságát megadó összefüggés egyszerű ismétlés nélküli permutációvá redukálódik.

Az emberiség jelenleg közel hétmilliárd, azaz 7 * 109 főből áll. Látható, hogy még a körökből előállítható különböző csomagok száma is 16 (!) nagyságrenddel felülmúlja az emberi populációt.

Összegzés

Az eddigiek alapján látható, hogy a játékcsalád egyszerű felépítése – 4 szín, 3 forma – ellenére a kombinációs lehetőséges száma rendkívül magas. Elenyésző az esélye például annak, hogy két játékhasználó véletlenül ugyanazt a konfigurációt hozza létre az elemekből. A játékból történő építkezés során az előző fejezetekben mindig egy adott formán belül maradtunk, azonban az egyes formák kialakítása és mérete olyan, hogy együtt is lehet használni őket. Ez a lehetőség a Poliuniverzum Játékcsaládot ábrázoló fő alkotásból is következik, hiszen már ezen az első képen tetten érhető, hogy a háromszög, a négyzet és a kör összeilleszthető. Mindent figyelembe véve könnyen beláthatjuk, hogy pusztán a kombinációs lehetőségek zárt fölvázolása is rendkívül összetett feladat.

Megjegyezzük továbbá, hogy – bár ebben a részben a különböző megoldási lehetőségeket vettük számításba – a játék során bizonyos szabályszerűségek szerint felépített mintákat szoktunk elsődleges célként kijelölni. Ez nem egy, az alkotó által megszabott megkötés, csupán egy jellemző emberi hozzáállás a játékcsaládhoz. Ezen szabályszerűségek egyike például az előző fejezetekben alaposabban megvizsgált zárt konfigurációra törekvés. Könnyen belátható, hogy ezen ad-hoc szabályok halmaza bár véges, de zárt megadása szintén nem lehetséges.

Kis Gábor fizikus